R언어 공부 - 확률과 확률 분포

 확률은 불확실한 상황에서 의사결정을 하는데에 유용한 개념이다.

 우연한 사건의 결과를 관찰하는 과정을 "확률 실험" , 관찰이나 실험을 통해 얻어지는 결과나 사건을 "사상(event)" 이라고 한다.

 

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 확률은 크게 객관적 방법과 주관적 방법이 있다.

 객관적 방법에는 경험적 방법과 추론적 방법이 있다.

 

 경험적 방법 : 직접 다 경험해보고 나온 결론이다.

  ex ) 여러가지 색깔의 구슬이 들어있는 구슬 주머니에서 100회 뽑기 했는데, 노란색 구슬이 50번 나왔다면 노란색 구슬이 나올 확률은 50% 이다.

 

 논리적 추론에 의한 확률의 정의 : 실험하지 않고 추론을 통해서 얻는 결론이다.

 ex ) 동전 앞면이 나올 확률, 주사위 눈금이 1이 나올 확률 등이 있다.

 

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 <확률의 공리>

 

 1. 어떤 사건 A가 일어날 확률은 0 ≤ P(A) ≤ 1

 2. 표본공간 S에 대하여 P(S) = 1

 3. 상호 배타적인 사상 A,B에 대하여 P(A∪B) = P(A) + P(B)

 * 상호 배타적 : 교집합이 없는 것.

 

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 <조건부 확률 >

 - 어떤 사건이 일어난 조건하에서 특정 사상이 발생할 확률

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 <확률의 덧셈 법칙>

 

 1. 상호 배타적인 경우 : P(A∪B) = P(A) + P(B)

 2. 상호 배타적이지 않은 경우 : P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

 

<확률의 곱셈 법칙>

 

 1. 상호 독립적인 경우 :  P(A∩B) = P(A) * P(B)

 2. 상호 독립적이지 않은 경우

• P(A∣B) = P(B) * P(A∣B)
• P(B∣A) = P(A) * P(B∣A)
• 즉, P(A∣B) ≠ P(B∣A)

 

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 <베이스 정리>

 사후에 일어날 수 있는 사상에 관한 정보를 가지고 알려지지않은 어떤 사상의 확률을 구하는 것이다.

 알려지지 않은 사후 확률을 구하는 것이다.

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 확률 변수 

 - 확률 실험을 통해 나타나는 사상을 기초하여 실수값으로 다시 정의한 것으로, 각 값이 확률로 나타낼 수 있는 변수 이다.

 확률 분포

- 표본 공간에 나타나는 확률변수가 취할 수 있는 모든 값들과 그 값에 대응하는 확률을 동시에 표시한 것.

- 이산 확률 분포, 연속 확률 분포

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<확률분포의 기대값(평균)>

  a,b 는 상수, X,Y는 확률 변수

• E(a) = a
• E(aX) = aE(X)
• E(aX+b) = aE(X)+b
• E(X+Y) = E(X)+E(Y)
• E(X*Y) = E(X) * E(Y)   (단, X와 Y는 상호 독립)

 

<확률분포의 분산>

 평균에서 떨어진 정도를 제곱한 값을 다시 산술평균한 값.

 a,b 는 상수, X,Y는 확률 변수

• Var(a) = 0
• Var(aX) = a²Var(X)
• Var(aX+b) = a²Var(X)
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)

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 이항 분포, 베르누이 시행, 시행횟수와 성공확률에 의해 변화된다.

 시행횟수가 많아질수록 오른꼬리 그래프에서 정규분포 모양(좌우대칭)을 띄게 된다.

 

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 포아송 분포

 - 단위 구간에서 발생하는 성공 횟수에 대한 확률분포이다.

 - 이항분포의 평균만 알고 있는 경우, n이 아주크거나, P가 너무 작은 경우 사용한다.

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 정규 분포

 - 어떤 경험적 현상의 실제 측정결과로부터 얻은 확률 분포가 아니라 이론적으로 유도된 수학적 공식이다.

 - 평균과 분산에 의해 형태가 결정된다.

 

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참고문헌

정건섭, 김성우, R과 R Studio를 활용한 사회과학 통계연습, 윤성사, 2019

 

 

감사합니다.